formulette

Quello che sappiamo del bosone di Higgs: interazioni e particelle nelle prime due righe della lagrangiana

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Alla fine della puntata precedente scoprivamo che della lagrangiana del Modello Standard si dice spesso che è un' equazione che "riassume elegantemente la nostra conoscenza del mondo delle particelle elementari e delle loro interazioni fondamentali". Ci chiedevamo allora se questa fosse una frase accurata, e un particolare quanto fosse corretto l'uso della parola "conoscenza". Per provare a rispondere a queste domande, dobbiamo cominciare con il sezionare i termini della lagrangiana, provando a capire che cosa rappresentano e descrivono.

Disclaimer 1: questo non è, e non ha nessuna intenzione di essere, un corso di fisica teorica. In questo articolo e nei seguenti farò un uso molto approssimato e liberale delle equazioni, con l'unico scopo di indicarvi da molto lontano che cosa rappresentino i vari termini. Non aspettatevi nessuna spiegazione dettagliata della struttura matematica della teoria, né di come i vari pezzi sono usati per calcolare le proprietà che andiamo a misurare.

Disclaimer 2: per la lettura di questo articolo una certa conoscenza pregressa è data per scontata (per esempio, serve sapere quali sono le quattro interazioni fondamentali). Se non sapete di che cosa si sta parlando, seguite i link che disseminato nel testo: gli articoli di Wikipedia sono un buon punto di partenza per approfondire. E abbiate pazienza.

Partiamo dunque dalla lagrangiana del Modello Standard, nella versione compatta che vi mostravo nell'ultimo articolo. Ci concentreremo inizialmente sulle prime due righe:Queste due righe sono la porzione della lagrangiana che descrive la struttura delle interazioni fondamentali, e come queste agiscono sulle particelle di materia. Delle quattro forze che agiscono nel nostro mondo, il Modello Standard descrive infatti l'interazione elettromagnetica, l'interazione (nucleare) debole e l'interazione (nucleare) forte. In quelle due righe si sono dunque condensate (molto condensate!) la struttura dell'interazione elettrodebole, che unifica elettromagnetismo e forze nucleare debole, e della quantocromodinamica, la teoria che descrive l'interazione nucleare forte come scambio di gluoni tra quark.

Iniziamo con il decrittare (a spanne!) i simboli. La prima riga:

- \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}

contiene la descrizione di come i campi delle interazioni descritte (elettrodebole o forte, qui rappresentate in modo generico: per loro descrizione dettagliata bisognerebbe studiare la versione estesa della lagrangiana) interagiscono tra di loro. Il simbolo F^{\mu\nu} nasconde il potenziale A_\mu dell'interazione in questione:

F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu

Discutere che cosa sia il "potenziale di un'interazione" richiederebbe un intero corso di fisica, limitiamoci dunque a dire che si tratta di un oggetto matematico da cui è possibile ricavare le proprietà del campo dell'interazione in questione. E che cos'è il campo di un'interazione? Eh, la fisica è come il tunnel di Alice... Diciamo solo che è un altro oggetto matematico che assegna un valore di una certa quantità (per esempio, semplificando molto, l'intensità di una certa interazione), a un punto dello spazio(-tempo). Gli apici e pedici \mu e \nu rappresentano le dimensioni degli oggetti: siccome il Modello Standard è una teoria relativistica (nel senso della relatività ristretta), tutti gli oggetti hanno quattro dimensioni, una temporale e tre spaziali.

Intermezzo per i curiosi che masticano un po' di matematica. Gli apici e pedici \mu e \nu non rappresentano solo le dimensioni, ma anche, a seconda di come sono messi e se sono ripetuti, operazioni di somma sui medesimi indici. Il simbolo \partial_\mu è un modo compatto per indicare una derivata parziale rispetto alla dimensione indicata dall'indice.

Intermezzo per i curiosi che masticano un po' di fisica classica. Saltando allegramente tra formulazione classica e quantistica, diciamo che A_\mu è un quadrivettore che, nel caso dell'interazione elettromagnetica che prendiamo come esempio, può essere definito come:

A_\mu = \left( \phi, \vec{A} \right)

dove \phi è il potenziale scalare e \vec{A} il potenziale vettoriale dell'interazione elettromagnetica nella sua formulazione relativistica, da cui posso ritrovare le buone vecchie equazioni di Maxwell (nella forma tensoriale relativistica):

\vec{E} = - \nabla \phi + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

\vec{B} = \nabla \times \vec{A}

Intermezzo per i pignoli che sanno di cosa parlo. Lo so, lo so, la forma reale di F_{\mu\nu} per le interazioni debole e forte è un dito più complessa, perché contiene anche un termine che descrive la mutua interazioni dei bosoni tra di loro, che siano i bosoni W e Z dell'interazione debole o i gluoni della QCD. Come dicevo, questo non è un corso di fisica teoria. 

(Fine degli intermezzi pignoletti)

La seconda riga descrive come i campi delle interazioni interagiscono con i campi che rappresentano le particelle di materia:

i \bar{\psi} {\not} D \psi

La lettera \psi rappresenta il campo associato a una particella di materia, per esempio un elettrone o un quark. L'interazione è invece nascosta dietro al quella lettera D sbarrata. Il primo a usare questa "notazione con la sbarra" fu Dirac, anche se i fisici la conoscono normalmente come notazione sbarrata di Feynman. Con un unico simbolo, per amor di brevità si indica il prodotto tra un vettore (per i pignoli: un vettore covariante) e le matrici di Dirac (o matrici gamma);

{\not} D = \gamma^\mu D_\mu

Non entreremo nella questione di che cosa siano le matrici di Dirac, diciamo solo che la notazione sbarrata serve a nasconderle per rendere la scrittura più compatta. Che cos'è invece D_\mu? È quella che in gergo si chiama derivata covariante, una versione sofisticata della derivata che magari ricordate dalle superiori, che ha però altre proprietà interessanti, tra cui quella di mantenere le proprietà di simmetria dell'oggetto a cui viene applicata:

D_\mu = \partial_\mu -i g A_\mu

Dentro al termine {\not} D è dunque nascosto il campo dell'interazione in questione A_\mu  (per esempio il campo elettromagnetico), mentre g è quella che chiamiamo costante di accoppiamento dell'interazione, un numero che definisce quanto intensamente agisce la forza in questione.

La storia di questo pezzo della lagrangiana del Modello Standard è molto lunga. Comincia con l'elettrodinamica quantistica di Feynman, che a sua volta è il culmine di un lavoro che parte da Dirac e passa per Fermi e Bethe, solo per citare alcuni dei contributori più importanti. Continua con la sua estensione all'interazione debole, e all'unificazione di quest'ultima con l'interazione elettromagnetica da parte di Glashow, Salaam e Weinberg, vero fondamento del Modello Standard. E culmina con la formulazione della cromodinamica quantistica, e con la scoperta della libertà asintotica.

Le equazioni che abbiamo provato a sviscerare sono spesso rappresentate sotto forma di diagrammi di Feynman. Per quanto questi siano in primo luogo un modo che i fisici hanno per organizzare i calcoli, possono essere utili per visualizzare i processi che i calcoli rappresentano. Ecco i diagrammi che quelle equazioni rappresentano, al loro livello di sviluppo più semplice:

Per queste prime due righe della lagrangiana del Modello Standard, possiamo dunque parlare di "conoscenza" nel suo senso più completo. Si tratta del condensato di quella fisica che per certi versi inizia con la stesse equazioni di Maxwell nel 1880, e la cui struttura e proprietà abbiamo testato e misurato con altissima precisione nel corso di tutto il novecento. Che dire invece delle altre due righe?

(continua)

I parametri del Modello Standard. Quinta puntata: minuscole differenze di massa

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Nella precedente puntata di questa serie sui parametri del Modello Standard abbiamo giocato con i valori delle masse dei leptoni. Abbiamo scoperto quanto le caratteristiche del mondo in cui ci troviamo a vivere dipendano dal fatto che l'elettrone ha una piccola massa, duecento volte inferiore a quella del muone. Immaginando un mondo in cui elettrone e muone hanno entrambi la massa del muone, ci siamo ritrovati in un universo spento, alla fine popolato solo da neutroni e neutrini. In quell'universo immaginario il neutrone, nonostante avesse  una massa maggiore di quella del protone come nel nostro universo, non poteva decadere a causa dell'assenza dell'elettrone.

Come ci siamo chiesti quali siano le conseguenze delle specifiche masse dei leptoni, arbitrarie nel Modello Standard, sulle caratteristiche del nostro universo, possiamo fare lo stesso esercizio con le masse dei quark. Iniziamo usando proprio quelli che compongono il protone (fatto da due quark up e un quark down) e il neutrone (composto da un quark up e due quark down).

parametrims_protoneneutrone

Prima di proseguire, è però necessario chiarificare un'aspetto importante delle masse delle particelle composte. I fisici delle particelle (me compreso, non sono immune a questa faciloneria) vanno spesso in giro a raccontare come l'interazione con il campo di Higgs sarebbe responsabile della massa delle particelle. Non è un'informazione falsa, ma detta così omette un elemento fondamentale. L'interazione con il campo di Higgs è soltanto responsabile della massa delle particelle elementari (i bosoni vettori, i leptoni e quark), mentre  Le particelle composte (come il protone e il neutrone, per esempio) hanno una massa che è ben più grande della somma delle masse dei loro costituenti. Prendiamo per esempio il protone: ha una massa di 938.2 MeV, quando il quark up ha una massa di 2.3 MeV, e il quark down di 4.8 MeV. La somma delle masse dei costituenti del protone è poco più di 9.4 MeV, circa cento volte meno della sua massa reale. Da dove viene dunque tutta la massa protone, se non da quella dei quark che lo compongono? Principalmente dall'energia di legame (in questo caso esercitato dalla forze nucleare forte, mediata dai gluoni) che tiene insieme i quark costituenti: la massa della materia ordinaria che ci circonda è generata al 99% dall'interazione nucleare forte, e non dal campo di Higgs!

Se avete digerito il paragrafo precedente (e, lo so, per molti potrebbe essere uno shock, vista la vulgata corrente che vuole il campo di Higgs come "responsabile della massa di tutte le cose"), capirete meglio cosa sto per raccontarvi. Se la maggior parte della massa degli adroni (la famiglia di particelle composte a cui appartengono il protone e il neutrone) è dovuta all'energia delle forze che agiscono tra i loro costituenti, non è campato in aria fare l'ipotesi che il protone abbia una massa lievemente superiore a quella del neutrone perché ha  anche una carica elettrica, e dunque acquisirebbe una frazione di massa anche dall'interazione di Coulomb. In effetti, questo sarebbe vero nel caso in cui il quark up e il quark down avessero esattamente la stessa massa. Ma come scrivevo poco fa, il quark down è un po' più pesante di quello up, e il fatto che il neutrone conti due down tra i suoi costituenti è sufficiente a rendere il neutrone leggermente più pesante del protone, nonostante una (piccola) frazione della massa del protone venga anche dalla sua carica elettrica.

m_p" />

Qual è la differenza di massa tra protone e neutrone? È piccola. Il neutrone ha una massa di 939.5 MeV, dunque soltanto 1.3 MeV più che il protone:

m_n - m_p \simeq 1.3 MeV

Questa piccola differenza è dovuta esclusivamente alle specifiche masse dei quark, le quali, come quelle dei leptoni, nel Modello Standard hanno dei valori arbitrari, fissati a quello che misuriamo.

Come per le masse dei leptoni, possiamo allora immaginare un universo alternativo dove le masse dei quark siano diverse. Se per esempio immaginassimo un quark up un poco più pesante del quark down, per esempio con una massa di 4.9 MeV, troveremmo un universo in cui sarebbe il protone ad avere una massa di 1.3 MeV maggiore di quella del neutrone. Questa minuscola differenza avrebbe però delle conseguenze profonde. Tanto per dirne una, il protone non sarebbe stabile, e avrebbe tendenza a decadere in un neutrone, un elettrone e un neutrino. Conseguenza? Niente idrogeno, e dunque niente acqua, e niente vita basata sull'acqua.

parametrims_decadimentoprotone

All'inizio della storia dell'universo, poi, le cose sarebbero andate molto diversamente da come è successo nel nostro mondo. Già alcuni istanti dopo il Big Bang, una volta scesa a sufficienza la temperatura, i neutroni sarebbero stati molti di più che i protoni. E i pochi protoni rimasti avrebbero principalmente formato nuclei di elio: ci saremmo ritrovati in fretta in un'inverso composto quasi esclusivamente da elio e neutroni. Ci sarebbero state anche piccole tracce di deuterio e trizio, ma di fatto i pochi protoni che non avessero formato nuclei di elio si sarebbero disintegrati in neutroni, elettroni e neutrini. I neutroni avrebbero di fatto giocato il ruolo che nel nostro universo hanno avuto i protoni nella nucleo-sintesi. Le stelle di questo universo alternativo sarebbero bruciate più velocemente che nel nostro, siccome la reazione nucleare dominante sarebbe stata quella tra due neutroni e non invece tra due protoni (tra i quali la reazione è rallentata dalla repulsione delle rispettive cariche elettrice).

A parte l'assenza dell'idrogeno, è difficile predire se quelle stelle avrebbero formato gli stessi elementi pesanti che formano il nostro mondo. Anche immaginando una nucleo-sintesi simile (e non lo sarebbe), la differenza di massa del quark up avrebbe comunque reso molti di questi nuclei instabili, e sarebbero stati invece più abbondanti isotopi con più neutroni. Tra questi e tutti i neutroni rimasti liberi di circolare, diciamo pure che questo universo alternativo sarebbe stato piuttosto inospitale! E tutto per una minuscola differenza della massa del quark più leggero...

Abbiamo visto come dei parametri apparentemente arbitrari del Modello Standard, la massa dei leptoni e quella dei quark, abbiamo un'influenza profonda sull'evoluzione e le caratteristiche dell'universo che ci circonda. Non saper spiegare perché i parametri che nel Modello Standard che determinano queste masse assumano proprio questi valori è uno degli indizi che suggerisce che il Modello Standard non è una descrizione completa della Natura. Ma i parametri che controllano le masse non ne sono l'unico aspetto arbitrario. Oltre ai valori delle loro masse, per esempio, ci si potrebbe per esempio chiedere perché c'è un certo numero di famiglie di leptoni e quark. Perché tre, e non di meno (per esempio perché non soltanto la prima famiglia, con la quale di fatto possiamo costruire tutta la materia ordinaria?) oppure di più? Ne parleremo nella prossima puntata.

(continua)

Che cos'è un femtobarn (inverso)?

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Dopo che ho pubblicato l'articoletto di venerdì sullo stato di LHC e le collisioni prodotte, ho continuato a ripetermi che avrei dovuto spiegare che cos'era un femtobarn inverso, l'unità di misura della luminosità integrata fornita dall'acceleratore, ovvero della qualità di collisioni prodotte. Mi sono arrovellato per qualche giorno, perché era convinto di aver già scritto qualcosa di simile nel passato.

Dopo una ricerca su Borborigmi, il mio io del passato ha confermato il mio sospetto. Nel 2009 avevo già scritto un bello spiegone, che trovate sotto il titolo altisonante di "Più è luminoso, più saranno gli eventi (interessanti)". Visti i tempi che corrono, credo che per curiosi e nuovi arrivati valga la pena andare a (ri)leggerlo.

(Quella qui sotto è una slide di un corso per laureandi e dottorandi che tengo ormai da tre anni: a volte per capire un concetto non serve matematica complicata.)

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I parametri del Modello Standard. Prima puntata: meno sono i parametri, migliore è la teoria

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Isaac Newton in un ritratto di Jean Leon Huens

Con la ripresa delle operazioni di LHC ormai alle porte, penso che sia arrivato il momento per una nuova serie di articoli, nello stile di quelli su Come funziona LHC? e I rivelatori di LHC. Prima che i protoni inizino a correre e scontrarsi di nuovo (e, chissà, prima che alla finestra aperta dall'energia più elevata si affacci magari qualche fenomeno nuovo), volevo raccontarvi qualche dettaglio del Modello Standard, questa fantastica teoria che tanto bene descrive il mondo in cui viviamo, e che tanto testardamente insistiamo a voler provare sbagliata. Per farlo, pensavo di passare in rassegna i parametri del Modello Standard, discutendo quali siano le conseguenze del valore che questi parametri assumono, e provando anche a immaginare come sarebbe un universo in cui alcuni di questi parametri assumessero un valore diverso.

Perché è interessante studiare i parametri di una teoria? Per capirlo, e prima di tuffarci tra le pieghe del Modello Standard (che di parametri ne ha parecchi!) è importante capire che ruolo giocano i parametri in una teoria o in un modello fisico, e perché la loro presenza ci dice qualcosa della nostra ignoranza, o, se preferite, di quanto la suddetta teoria o modello siano incompleti.

Prendiamo ad esempio una teoria fisica semplice e molto conosciuta: la legge di gravitazione universale di Newton. Inclusa nei famosissimi Principia Mathematica pubblicati nel del 1687, la legge di gravitazione universale di Newton racchiude un'intuizione straordinaria: gli effetti della gravitazione terrestre, quelli che ci tengono ancorati alla superficie del nostro pianeta e fanno cadere a terra le mele dagli alberi, sono causati dalla stessa forza responsabile dell'orbita della Luna intorno alla Terra, e della Terra e dei pianeti intorno al Sole. Newton riesce a descrivere con un'unica equazione la forza che si esercita tra due corpi dotati di massa, siano essi mele o lune, riducendo di fatto il numero dei parametri necessari a descrivere i fenomeni gravitazionali a uno solo. La formula, che sono certo conoscete, recita:

F = G \frac{Mm}{r^2}

La forza F esercitata tra due corpi di massa M e m è proporzionale all'inverso del quadrato della loro distanza r, e a una certa costante G, appunto la costante di gravitazione universale di Newton. La teoria di Newton contiene un solo parametro, G, che non viene predetto dalla teoria, e che può essere conosciuto solo misurandolo con un esperimento.

Prima dell'intuizione di Newton, per descrivere gli stessi fenomeni erano necessari più parametri. Per esempio, un certo valore per l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre, quella responsabile della caduta delle mele dagli alberi al suolo, e un altro valore per l'accelerazione di gravità che mantiene la Luna in orbita intorno alla Terra (e così via: un parametro per l'attrazione gravitazionale tra Sole e Terra, tra il Sole e ognuno deli altri pianeti, e così via). La grandezza dell'intuizione di Newton consiste nell'unificare la conoscenza, e fare sì che tutti questi diversi parametri e apparentemente separati possano invece essere espressi a partire da un'unica espressione semplice, e un solo parametro universale. De la forza di attrazione gravitazionale sulla superficie terrestre attrazione era

F_{\rm mela} = m_{\rm mela} g_{Terra}

dove g è l'accelerazione di gravità sulla Terra, e invece la forza che mantiene la Luna in orbita era

F_{\rm Luna} = m_{\rm Luna} g_{Luna},

adesso Newton può invece unificare e semplificare, dicendo che

g_{Terra} = G \frac{M_{\rm Terra}}{r_{Terra}^2}

e

g_{Luna} = G \frac{M_{\rm Terra}}{r_{Luna}^2},

dove r_{\rm Terra} è il raggio terrestre (o meglio, la distanza tra il centro della terra e la mela), e r_{\rm Luna} è la distanza tra il centro della Terra e la Luna.

Perché la presenza di un parametro è sintomo di ignoranza? Perché, non essendo il suo valore predetto dalla teoria, sappiamo di fatto che la teoria non è in grado di esprimersi sull'origine del fenomeno che quel parametro descrive, ma solo di descriverne gli effetti. Nel caso della gravità, prima della scoperta della legge di Newton, la presenza di parametri separati per indicare gli effetti della gravità in ambienti diverse (sugli oggetti sulla superficie della Terra, sulla Luna in orbita intorno ad essa) era una conseguenza del non aver ancora afferrato l'origine comune dei due fenomeni. Con la semplificazione di Newton la conoscenza aumenta: entrambi i fenomeni (la mela che cade al suolo, la Luna in orbita) sono ricondotti a una stessa origine, e messi in un unico quadro coerente. Ma il fatto nella teoria sia rimasto un parametro libero, non predetto ma da misurare, la costante di gravitazione universale G, ci dice anche che la teoria di Newton è sì in grado di sistematizzare le conseguenze della gravità (con la geniale intuizione della legge dell'inverso del quadrato della distanza), ma non di dire qualcosa sulla sua origine. Perché G assume quel particolare valore? Siccome dobbiamo misurarlo con gli esperimenti e la teoria non lo predice, evidentemente la teoria (quella teoria) non può rispondere a quella domanda. E come sarebbe il mondo se quel parametro assumesse un valore diverso? Può farlo? E se no, perché?

La presenza di un parametro libero in un modello fisico può dunque dirci molto della sua "completezza". Più sono i parametri, meno completa è la teoria, perché meno sono le quantità che la teoria riesce a predire. A ogni parametro corrisponde dunque un'ignoranza e un limite del modello. Pensate allora che il Modello Standard ha ben 18 parametri, se non contate le masse dei neutrini (in questo caso, i parametri diventano 26!). Alla prossima puntata vi racconto quali sono questi parametri, e in quelle che seguiranno cercheremo di scoprire quale sia il loro ruolo, quale ignoranza fondamentale nascondano, e come sarebbe il mondo se assumessero dei valori diversi da quelli che misuriamo.

(continua)

Rivelatori di particelle a LHC. Intermezzo imprevisto: sulla profondità di uno sciame, e sul perché i conti aiutano la comprensione

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Devo ammettere che sono rimasto stupito dal numero di commenti all'articolo sugli sciami elettromagnetici. Ma come? Meno di una decina di tentativi di risposte al compito a casa? Non che me aspettassi migliaia, ma visto che quell'articolo negli ultimi giorni è stato letto (o perlomeno aperto) parecchie centinaia di volte, il rapporto tra letture e tentativi di risposta mi sembra un po' scarso. Forse l'articolo era troppo lungo, e non tutti sono arrivati al fondo (TL;DR?). O forse alcune delle mie ipotesi di fondo erano sbagliate.

Nella mia visione rosea del mondo, il calcoletto proposto nei compiti a casa doveva infatti essere alla portata di uno studente delle superiori. Forse la mia immagine dello studente medio delle superiore è appunto un po' troppo rosea, sia in termini di competenze specifiche (invertire un esponenziale? Fare un logaritmo?), sia, ed forse è peggio, i termini di capacità di ragionamento analitico. Riflettendoci un po', questo è forse il problema principale della divulgazione scientifica. Che cosa interessa della scienza? Le immagini mirabolante? L'impressione di aver capito? Però - non sia mai - senza fare un conto! Come se i conti fosse accessori alla comprensione, anche quella semplificata, un orpello necessario al tecnico che ci lavora per davvero, ma non a chi vuole solo capirne un po'. Beh, non credo sia vero, e proverò a dimostrarvelo proprio con l'esempio del calorimetro elettromagnetico di cui abbiamo parlato.

Il compito a casa chiedeva di calcolare quante lunghezze di radiazione servono a fermare in fotone (o un elettrone) con energia di 100 GeV o 1 TeV nell'ipotesi semplificatissima che l'energia critica sotto la quale le particelle di uno sciame elettromagnetico vengono assorbite dal materiale che attraversa sia 10 MeV, e che per ogni lunghezza di radiazione attraversata ogni particella dello sciame si sdoppi in due particelle con metà dell'energia. Come si risolve questo problema? Ci sono diversi approcci possibili, più o meno formali.

Iniziamo con quello intuitivo, probabilmente più semplice. Il fotone iniziare ha energia E_0, e produce uno sciame con k particelle, ognuna delle quali avrà energia \frac{E_0}{k}. Quando questa energia è uguale (o minore) dell'energia critica di E_c = 10 MeV, allora lo sciame si ferma. Posso calcolare al volo quante particelle deve avere lo sciame per fermarsi: k=\frac{E_0}{E_c}, ovvero k = 10^4 nel caso E_0 = 100 GeV (1 GeV sono 10^9 eV, 1 MeV 10^6 eV), k = 10^5 per E_0 = 1 TeV (1 TeV = 10^{12} eV) (se siete persi nei suffissi scientifici mega, giga e tera, data un'occhiata qui). Quante lunghezze di radiazione mi servono perché la mia particella iniziale si trasformi in uno sciame di k particelle? Se il numero di particelle raddoppia ogni lunghezza di radiazione attraversata, dopo un numero n di lunghezze di radiazione avrò k = 2^n particelle. Potete mettervi pazientemente con carta e penna o una calcolatrice, e trovare qual è la potenza di 2 che approssima di più 10^4 e 10^5. Per i pigri, sono rispettivamente un po' meno di 14 (2^{14} = 16384) e un po' meno di 17 (2^{17} = 131072).

Ma un fisico (o lo studente delle superiori dei miei sogni) non risolverebbe così il problema! Troppi passaggi, e il prova-e-riprova con la calcolatrice è lungo e inefficiente. Meglio un approccio più formale, e un paio di formulette. Pronti? L'energia di una particella nello sciame semplificato che stiamo descrivendo è:

E = \frac{E_0}{2^n}

dove E_0 è l'energia iniziale del fotone, e n il numero di lunghezze di radiazione attraversate. Lo sciame si ferma quando E = E_c, e dunque:

2^n = \frac{E_0}{E_c}

n = \log_2 (\frac{E_0}{E_c})

dove il secondo passaggio dovrebbe esservi chiaro se avete studiato i logaritmi, cosa che, se fanno fede le mie ricerche, si dovrebbero ancora studiare al terz'anno del liceo scientifico, e a un livello simile negli istituti tecnici (sul liceo classico non mi pronuncio!). Altrettanto semplice dovrebbe essere la trasformazione in logaritmo in base 10 (perché non tutte le calcolatrici sanno calcolare i logaritmi in base 2). Se infatti andate a rinvangare nel vostro libro di matematica delle superiori, troverete questa formula:

\log_a x = \log_a b \log_b x

che ci permette di riscrivere:

n = \log_2 (10) \log_{10} (\frac{E_0}{E_c}) =\simeq 3.32 \log_{10} (\frac{E_0}{E_c})

Con questa formula potete risolvere al volo il problema che vi ho dato: per E_c = 10 MeV, E_0 = 100 GeV o 1 TeV, al volo trovate n = 13.28 o 16.61. Che tra l'altro, è un risultato esatto rispetto alle approssimazioni fatte prima.

Ma la cosa migliore è che questa formula vi permette di risolvere il problema per tutte le situazioni possibili: per qualunque energia del fotone o dell'elettrone entrante, e per qualunque valore dell'energia critica sotto la quale le particelle dello sciame vengono assorbite (che può dipendere dal materiale che sceglierete). Questo vi permette per esempio di fare un grafico del genere, dove disegnare, per un certo valore dell'energia critica, quante lunghezze di radiazione vi servono per fermare un fotone in funzione della sua energia iniziale:

Un'occhiata a questo grafico vi insegna molte più cose che mille parole: per esempio, che la quantità di lunghezze di radiazione necessarie per fermare un fotone non cresce in modo costante con l'energia del fotone stesso. Se raddoppia l'energia del fotone, non avete bisogno di raddoppiare la lunghezza del vostro rivelatore per fermarlo. La cosa è vantaggiosa, perché invece, per misurare con precisione una particella con tracciatore, la dimensione di questo rivelatore dovrebbe crescere in modo linearmente proporzionale con l'energia. Un grafico come quello lì sopra vi permette di fare non solo delle previsioni puntuali (quante lunghezze di radiazione per fermare una particella di una certa energia), ma anche di comprendere delle proprietà globali (la lunghezza necessaria non aumenta linearmente con l'energia, dunque questo tipo di rivelatore potrebbe rivelarsi più appropriato, rispetto a un tracciatore, per particele di alta energia).

Questo è il segreto principale del successo indiscusso della modelizzazione matematica dei fenomeni naturali: certo, da una parte il poter calcolare in modo puntuale le caratteristiche di un certo fenomeno in determinate condizioni. Ma anche - soprattutto! - il poterne cogliere le proprietà globali, le sole che permettono una comprensione profonda non solo del funzionamento, ma anche del senso di un fenomeno, e del suo ruolo in un contesto più ampio. Non abbiatene paura!

Distinguere un segnale da un rumore di fondo. Terza puntata: zone di rumore di fondo controllato

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Avvertenza: questa è la terza puntata di una serie, se non avete letto la prima e la seconda andate a farlo, altrimenti la comprensione potrebbe esservi ostica. Se fare moltiplicazioni, divisioni e radici quadrate vi crea problemi, verificate di avere la calcolatrice a portata di mano!

Come dicevamo alla fine della scorsa puntata, se si conoscono alla perfezione le proprietà del fenomeno (o dei fenomeni) che imita il manifestarsi dell'oggetto di cui siamo alla ricerca, insomma del nostro rumore di fondo, un'analisi statistica delle nostre osservazioni permetterà di capire se un eventuale eccesso osservato sia compatibile con la presenza di un segnale genuino sovrapposto al rumore, oppure al solo rumore. Nel caso invece che le proprietà del rumore di fondo non siano note con sufficiente precisione, le probabilità di sbagliare aumentano. Nel caso in cui si sottostimi il rumore di fondo, si penserà di vedere un segnale quando invece non ce n'è traccia. Per evitare di cadere in questa trappola, i fisici cercano sempre di misurare le proprietà dei rumori di fondo dagli stessi dati, per non doversi fidare troppo delle predizioni teoriche.

Riprendiamo l'esempio del puzzone di Piggs e del suo fastidioso rumore di fondo, il bruglione di Yan. Quello che sappiamo è che entrambi si manifestano nel rivelatore con l'accensione di una lampadina rossa. Se la storia fosse tutta qui, non ci sarebbe molto altro da aggiungere. Ma immaginate invece di essere talmente furbi da riuscire a isolare uno o più modi di manifestarsi del solo bruglione di Yan: immaginiamo per esempio che abbiate scoperto che il bruglione di Yan si manifesta anche con l'accensione di una lampadina verde e di una lampadina blu, supponendo per semplicità con lo stesso ritmo con cui accende quella rossa. E immaginiamo invece che il fenomeno di cui siete alla ricerca, il puzzone di Piggs, per nessuna ragione possa far accendere né la lampadina verde né quella blu. In questo caso siete a cavallo: invece di fidarvi delle predizioni del vostro amico teorico, che vi ha garantito che il bruglione di Yan si manifesta con 10 accensioni ogni 10000 collisioni, andate direttamente a misurare questo valore con le lampadine verdi e blu.

Inizialmente, avendo pochi dati, non avrete una grande precisione. Immaginiamo infatti che la previsione del vostro amico teorico sia corretta, e che in 10000 collisioni le tre lampadine si accendano in media 10 volte a causa del bruglione. Come abbiamo visto la volta scorsa, esiste una probabilità importante che invece di vedere 10 accensioni ne vediate invece 13, oppure 7, oppure 11.

In questo caso, facendo l'ipotesi che il ritmo di accensione sia costante nelle varie lampadine (non è necessariamente il caso, ma facciamola semplice), potete per esempio fare una media delle misure delle due lampadine che sapete non saranno accese dal puzzone di Piggs. Meglio ancora, se masticate di analisi dati, farete una media pesata o una regressione, considerando come errore sulle misure la radice quadrata della misura stessa (in sostanza, facendo l'ipotesi che la vostra misura sia poissoniana, e che la misura stessa sia una buona stima della media stessa: ecco il senso delle barre di errore nel grafico precedente). Nel nostro caso semplificato, il risultato della stima del rumore del fondo usando le due lampadine verdi e blu è circa 9 (la linea tratteggiata nera), con una precisione di circa 2 conteggi (la banda gialla): meglio della sola lampadina verde e della sola lampadina blu da sole, come ci si aspetterebbe dalla combinazione di due misure. 9 conteggi in 10000 eventi più o meno 2 è una buona stima dei 10 conteggi teorici, e potete certo usare questo numero per valutare quanto l'eccesso di conteggi della lampadina rossa sia significativo. Purtroppo ancora non molto! 13 meno 9 fa 4, che è poco più di 3, la radice quadrata di 9. Si tratta sempre di un eccesso si poco superiore a 1 sigma. Continuate dunque a raccogliere dati, e ripetete l'operazione di media delle lampadine di controllo. In un milione di eventi la lampadina verde si sarà accesa 981 volte, quella blu 1014, e quella rossa (come già nella puntata precedente) 1103 volte.

Il rumore di fondo stimato con la lampadina verde e blu è di 997 (più o meno 22 accensioni), un'ottima stima del 1000 teorico. L'eccesso che osservate (1103 - 997 = 106) è maggiore di più di 5 sigma del livello del rumore di fondo misurato dai dati (essendo adesso la sigma da considerare l'errore sul livello medio del fondo, cioè 22): avete una bella evidenza sperimentale della presenza di un nuovo fenomeno. E vi prego di notare che, quando avevamo considerato solo la lampadina rossa, lo stesso eccesso corrispondeva solo a 3 sigma: dove abbiamo guadagnato? In questo caso avete due misure del fondo, non una sola (o una sola predizione teorica), e il fatto che siano due ne migliora di molto la precisione, e rende lo stesso eccesso più significativo. Immaginate dunque che cosa potreste fare se aveste a disposizione 30 lampadine invece di 3, e 29 di queste potessero essere usate per misurare il livello di produzione del bruglione di Yan. Qualcosa del genere:

Come vedete, il livello di precisione sulla misura del rumore di fondo (la banda gialla) migliora notevolmente, e il vostro eccesso (la lampadina rossa ha indice 15) inizia a svettare sopra il fondo. D'altra parte, ingrandendo la regione in cui andate a misurare le proprietà del rumore di fondo, aumentate anche le possibilità di osservare una fluttuazione larga a sufficienza da essere confusa con un eccesso. Cosa direste se il quadro fosse piuttosto questo qui sotto?

L'eccesso alla lampadina rossa è sempre lo stesso, gli altri punti sono generati esattamente come nel grafico precedente: numeri causali distribuiti poissonianamente con media 1000. Questa volta però c'è un punto corrispondente alla seconda lampadina che mostra un eccesso assolutamente casuale, che è una fluttuazione del fondo. Se non sapeste che il puzzone di Piggs deve manifestarsi con l'accensione della lampadina rossa, ma soltanto che potrebbe manifestarsi in una delle 30 lampadine, come fate a distinguere quale dei due eccessi sia significativo? In due parole: non potete. Dovete (come sempre!) raccogliere più dati, e verificare se - aumentando la statistica - l'eccesso resta tale o si rivela soltanto una fluttuazione.

Nell'attesa, dovete anche essere cauti nel dichiarare al mondo quale è la significatività statistica del vostro eccesso. Se localmente la lampadina rossa mostra un eccesso di 3 sigma, il fatto che non sapete quale lampadina possa accendersi vi obbliga a correggere questo "3 sigma" per quello che si chiama in gergo il "Look Elsewhere Effect" (Effetto del Guardare Altrove) - per gli amici LEE - ovvero per la probabilità che una tale fluttuazione appaia in un'altra qualsiasi delle tante lampadine che state monitorando. Più sono le lampadine in cui il puzzone di Piggs potrebbe manifestarsi, maggiore sarà la correzione, minore il valore globale del vostro effetto locale. Per stappare lo champagne dovrete aspettare ancora un po'.

 

(Questa è la terza ed ultima puntata della serie "Distinguere un segnale da un rumore di fondo". Ci sarebbero ancora molte cose da dire, ma questo è un sito che fa divulgazione, e non corsi di analisi dati. Se avete seguito fin qui, potreste avere abbastanza strumenti per seguire il seminario di oggi pomeriggio. Il puzzone di Piggs è ovviamente una metafora per il bosone di Higgs, il bruglione di Yan il nome di fantasia per uno dei molti rumori di fondo che mascherano la sua potenziale apparizione in uno dei canali di decadimento in cui lo cerchiamo. Se per esempio studiamo il suo potenziale decadimento in due fotoni, il bruglione sarà la produzione dovuta alla QCD di coppie di fotoni. Siccome non sappiamo bene quale massa abbia il bosone di Higgs, dobbiamo cercarlo in regioni ampie, ovvero in tante possibili lampadine. Sempre nel caso del decadimento in due fotoni, la produzione di coppie di fotoni dovuta alla QCD genera coppie che corrispondono a valori di massa sparpagliati in modo continuo su un largo intervallo, mentre il decadimento del bosone di Higgs si manifesterebbe a un valore di massa ignoto ma ben definito.)

Distinguere un segnale da un rumore di fondo. Seconda puntata: il significato di un eccesso

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Avvertenze: la prima puntata della serie è qui, se non l'avete letta fatelo prima di attaccare questa, altrimenti potreste perdervi in fretta. Nel testo che state per leggere ci sono dei numerelli, ma le sole operazioni che dovete sapere fare per seguire il ragionamento sono la moltiplicazione e la radice quadrata. E potete usare la calcolatrice, non controllo!

Riprendiamo dal nostro segnale, il puzzone di Piggs, e il suo fastidioso rumore di fondo, il bruglione di Yan, che lo imita in tutto e per tutto, e per di più avviene più spesso. In entrambi i casi, come dicevamo, si tratta di fenomeni relativamente rari: il bruglione di Yan si manifesta in media 10 volte ogni 10000 collisioni, il puzzone di Piggs, se esiste, in media soltanto 1 volta.

I fenomeni che avvengono raramente, e su questo dovrete credermi sulla parola, seguono nel loro apparire una distribuzione di probabilità detta di Poisson. Questa distribuzione ha diverse proprietà matematiche interessanti, che vi lascio andare a scoprire da soli se volete approfondire. Per quello che vogliamo fare qui, ci interessa conoscere soltanto un paio di caratteristiche di base. La prima proprietà, come potete immagine se avete letto la puntata precedente, è il suo valore medio. Se studiate un fenomeno poissoniano, che ha la proprietà di manifestarsi 1 volta ogni N misure (per esempio, ogni N collisioni), nel caso voi facciate M misure potete aspettarvi di osservare in media M/N volte il fenomeno. Se il bruglione di Yan si manifesta in media 1 volta ogni 1000 collisioni, se ne misurate 10000 vi aspettate di osservarlo in media 10 volte. Semplice, vero?

La seconda proprietà è la deviazione standard, la "sigma", della distribuzione, anch'essa incontrata nella puntata precedente. La distribuzione di Poisson è particolarmente comoda per i calcoli, perché se il suo valore medio è K, la sua sigma è la radice quadrata di K. Se in 10000 interazioni vi aspettate di osservare in media 10 volte il bruglione di Yan, la sigma della corrispondete distribuzione di probabilità è la radice quadrata di 10, ovvero un po' più di 3. Come ricorderete, la "sigma" di una distribuzione misura quanto è probabile che osserviate un valore diverso da quello medio della distribuzione. Nel caso della distribuzione di Poisson (che in certi regimi non si comporta in modo troppo diverso dalla distribuzione normale), l'intervallo compreso tra il valor medio atteso più o meno una sigma contiene approssimativamente il 68% delle osservazioni possibili. Se osservate l'apparire del brugliore di Yan in 10000 collisioni, in circa 68% dei casi potete aspettarvi che apparirà un numero di volte compreso tra poco meno di 7 e poco più di 13. L'intervallo compreso tra il valor medio e 3 sigma comprende circa il 99.7% di valori possibile, quello tra il valor medio più o meno 5 sigma il 99.9999%.

Veniamo dunque alle nostre prime 10000 interazioni. Ci aspettiamo (ce l'ha detto il nostro amico teorico) in media 10 accensioni di lampadina causate dal bruglione di Yan, con una sigma di più o meno 3 accensioni, e 1 accensione potenzialmente dovuta al puzzone di Piggs, la particella ignota di cui siamo alla ricerca, con una sigma di... 1 accensione! Immaginate dunque di osservare 13 accensioni: state forse vedendo l'apparire di puzzone di Piggs, o state semplicemente visionando il bruglione di Yan, che conoscete bene e che vi interessa poco? Purtroppo per voi, non potete dire (ancora) molto. 13 accensioni sono in effetti più delle 10 che vi aspettereste in media per il solo bruglione, ma l'eccesso che osservate non è (ancora) significativo. Siccome la statistica di Poisson governa la frequenza delle apparizioni di bruglione e puzzone, sapete bene che 13 accensioni dovute al solo bruglione, invece che le 10 medie, sono un'eventualità piuttosto probabile. In effetti, un'eventualità possibile circa un terzo delle volte: se doveste rifare l'acquisizione dei vostri 10000 eventi altre 2 volte, potete stare quasi sicuri che l'eccesso sparirà. Mentre il numero eventuale di puzzoni di Piggs (1 in media, ma troppo facilmente anche 2 o nessuno) è ancora troppo piccolo per poterlo distinguere.

Che fate allora? Aspettate, e continuate a misurare, a raccogliere dati, a collezionare collisioni. Vediamo come la situazione evolve se invece di 10000 collisioni ne abbiamo raccolte 1000000. In un milione di collisioni ci aspettiamo di osservare in media 1000 accensioni di lampadina dovute al brugliore di Yan, con una sigma di circa 31 (la radice quadrata di 1000), mentre le accensioni potenzialmente dovute al puzzone di Piggs sarebbero 100, con una sigma di 10. Se in un milione di collisioni osservate 1103 accensioni, questa volta l'eccesso diventa intrigante. Potrebbe trattarsi ancora di una fluttuazione del rumore di fondo? Certamente, ma questa volta si tratterebbe di un eccesso che supera il valor medio atteso (1000) di più di 3 volte la sigma della distribuzione (3 per 31 fa 93, e voi avete un eccesso di 103 accensioni). Una simile fluttuazione del bruglione di Yan ha una probabilità di avvenire solo 1 volta ogni 370 esperimenti che raccolgano un milioni di eventi, cosa non impossibile ma molto più rara. In questo caso, normalmente vi permettereste di parlare di "evidenza" di un fenomeno, e di "osservazione di un eccesso". Molto probabilmente pubblichereste qualcosa, ma ovviamente con molta cautela.

Per essere sicuri che il vostro eccesso sia genuino volete che le probabilità di una fluttuazione del rumore di fondo siano veramente minuscole, praticamente trascurabili. Se raccogliete un altro milione di interazioni fino ad averne 2 milioni, vi attendete 2000 accensioni dovute al bruglione, con una sigma di circa 41. Se osservate 2215 accensioni, il vostro eccesso (215 accensioni in più delle 2000 attese in media) rappresenta più di 5 volte la sigma del rumore di fondo: in questo caso, si tratterebbe di una fluttuazione del rumore di fondo che ha una probabilità di accadere ogni 1700000! D'altra parte, vi attendereste in media 200 accensioni potenzialmente dovute al puzzone, con una sigma di 14 accensioni: l'eccesso è infinitamente più probabilmente dovuto alla presenza di un secondo fenomeno oltre al bruglione, e certamente compatibile con l'esistenza del puzzone ("infinitamente" è un eufemismo: quanto questo secondo scenario sia più probabile è qualcosa che si può calcolare con precisione, ma in questa sede non ci proveremo nemmeno!). Se ve la sentite, in questo caso potete finalmente parlare di "scoperta", perché l'eccesso che osservate è statisticamente significativo.

Tutto a posto? Nella maggio parte dei casi, si. Champagne, applausi, seminario pubblico, magari premio Nobel. A meno che (perché c'è sempre un "a meno che")... Tutto il ragionamento fatto sino ad adesso si basa sull'ipotesi che le proprietà del rumore di fondo, quello che abbiamo chiamato il bruglione di Yan, siano ben note. Questo è spesso vero, ma quando si sperimenta in regimi energetici nuovi (per esempio a LHC!), potrebbe non essere così certo. Il bruglione di Yan potrebbe essere stato studiato con cura con un acceleratore che ha lavorato a 2 TeV, e le previsioni di come dovrebbe manifestarsi a 7 TeV potrebbero essere state estrapolate sulla base di calcoli teorici. Come fare a fidarsi? Che succederebbe se il bruglione di Yan si presentasse in realtà in media 11 volte in 10000 eventi, invece delle 10 inizialmente previste? Il ragionamento fatto prima sarebbe ancora valido? Vediamo un po'. In 2 milioni di eventi mi dovrei aspettare 2200 eventi (e non i 2000 che erroneamente credevo) con una sigma di circa 46. La mia osservazione di 2215 accensioni di lampadina assume immediatamente un significato diverso, non trovate?

Sbagliare a stimare il "rumore di fondo" è uno degli errori sistematici più comuni nella fisica delle alte energie. Per evitarlo, esiste una sola strategia: invece di affidarsi a predizioni teoriche, mettersi in condizione di misurare il ritmo di produzione del rumore di fondo direttamente dai dati. Per farlo, occorre trovare una zona di osservazione dove siate sicuri che si manifesti solo il bruglione di Yan, e misurarne le proprietà in questa regione. È quello di cui parleremo alla prossima puntata.

(continua)

Distinguere un segnale da un rumore di fondo. Prima puntata: lanciare i dadi

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Mi sono messo in testa di insegnarvi un po' di statistica. O meglio, di fare finta di insegnarvi un po' di statistica: in realtà farò solo degli esempietti approssimati, senza darvi nessuna dimostrazione, e senza pretesa di rigore matematico alcuno. L'idea sarebbe quella di tentare di spiegarvi come si isola un segnale da un rumore di fondo, quando lo si può fare, e perché avere pochi dati può non permette di esprimersi in modo certo rispetto alla presenza di un nuovo fenomeno, mentre invece aumentarne la quantità migliora questa capacità fino a un livello che può essere considerato sufficientemente attendibile. Siete pronti? Mi ci vorranno almeno un paio di articoli, se non di più. E, se mi impegno, magari ce la facciamo entro il 13 dicembre.

Useremo uno scenario di fisica delle particelle estremamente semplificato. Stiamo facendo un esperimento per la ricerca del puzzone di Piggs: questa fantomatica particella, nel caso in effetti esista in natura, si manifesterebbe nel nostro sofisticato rivelatore con l'accensione di una lucina rossa. Il nostro collega teorico ci ha informati che la produzione del puzzone di Piggs è un evento molto raro: se le previsioni sono corrette si manifesterà in media una volta ogni 10000 interazioni. Segnatevi sui vostri quadernetti che questo ritmo di produzione e apparizione nel rivelatore è un valore medio, soggetto a fluttuazioni statistiche: torneremo su questo punto tra un momento.

Il principale problema del nostro esperimento è quello del rumore di fondo. La natura, notoriamente burlona, ha previsto l'esistenza di un altro processo, che per l'occasione chiameremo bruglione di Yan, che si manifesta nel nostro rivelatore anch'esso con l'accensione della stessa lucina rossa, in modo assolutamente indistinguibile dalla (possibile) manifestazione del puzzone di Piggs. Il fenomeno del bruglione di Yan è stato scoperto parecchi anni fa e da allora misurato in lungo e in largo, e rappresenta uno dei tanti aspetti della natura di cui conosciamo tutti i dettagli. Sappiamo per esempio che è un fenomeno raro, ma più frequente dell'apparizione presunta del puzzone: in 10000 interazioni si manifesta infatti in media 10 volte.

Facciamo ora una digressione sulla questione dei valori medi e delle fluttuazioni statistiche. Immaginate di lanciare due dadi a 6 facce, di quelli normali e comuni (per i giocatori di D&D prima o poi faremo un serie dedicata) e di sommare le cifre sulle facce superiori. Il valore più probabile che potete ottenere è 7, perché si tratta della cifra che potete ottenere con il maggior numero di combinazioni (nello specifico: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1). Ottenere 6 o 8 è ancora abbastanza probabile, ma meno che ottenere 7 (vi lascio calcolare da soli le combinazioni possibili), mentre ottenere 2 o 12 è molto meno probabile (potete ottenerli rispettivamente solo facendo 1+1 o 6+6). Prendete un pezzo di carta, e provate a disegnare un grafico, mettendo sull'asse orizzontale il valore che ottenete lanciando due dadi, e sull'asse verticale il numero di combinazioni che permettono di realizzare quel particolare valore. Otterrete qualcosa del genere:

Adesso fate un passaggio ulteriore, e trasformate i valori sull'asse verticale in percentuali. Per farlo, dovete contare tutte le combinazioni possibili (sono 36), e poi dividere ognuno dei valori che avevate sul grafico precedente per questo valore. Ecco qui:

Complimenti! Avete disegnato la vostra prima distribuzione di probabilità, una funzione che vi indica quanto è probabile che un certo fenomeno (il lancio di due dadi, per esempio) produca un certo risultato (un certo valore della somma delle facce superiori). A seconda del fenomeno che state studiando (il lancio di due dadi, la produzione del puzzone di Piggs), questa distribuzione avrà forme e caratteristiche diverse che si possono studiare matematicamente. Quando studiate una distribuzione di probabilità, ci sono alcune informazioni (matematiche) che vi aiutano a capirne le proprietà. La principale è il suo valore medio, che, perlomeno nel caso di distribuzioni simmetriche, vi dice qual è il risultato più probabile che potete ottenere se osservate un certo fenomeno. Immediatamente dopo viene un numerello che si chiama deviazione standard o anche scarto quadratico medio, che vi da una misura di quanto i possibili risultati del vostro esperimento possono assumere dei valori diversi e lontani dal valore medio. Nel caso del lancio di due dadi, il valore medio della distribuzione di probabilità dei valori attesi è 7, mentre la deviazione standard è circa 2.4 (come si calcola non ve lo spiego, se siete curiosi è un'informazione facile da trovare):

La media viene solitamente indicata con il simbolo "mu" (\mu), e la deviazione standard con "sigma" (\sigma). Quello che la media e la sigma di questa distribuzione vi dicono è per esempio che, quando lanciate due dadi, in poco meno di 67% dei casi il risultato che otterrete sarà compleso tra 7-2.4 e 7+2.4, ovvero tra il valore medio della distribuzione più o meno una sigma (e vi prego di sorvolare sul fatto che il valore della deviazione standard di una distribuzione che può assumere solo valori interi possa essere un numero reale, di quelli con la virgola, altrimenti non ne usciamo!). L'intervallo tra la media e più o meno due sigma, conterrà in questo caso più del 95% delle combinazioni possibili. Questi valori dipendono ovviamente dalla forma della distribuzione di probabilità, ma vi danno un'idea di dove voglio andare a parare: l'intervallo compreso tra la media più o meno un certo numero di sigma comprende una frazione di risultati possibili che è sempre più grande (e tende al 100%) tanto più grande è il numero di sigma che prendete in conto. Per esempio (ma ci torniamo meglio alla prossima puntata), se considerate la distribuzione di probabilità più frequente in natura, la distribuzione a campana detta "normale" o di Gauss, un intervallo compreso tra la media più o meno 3 sigma comprende più del 99% dei risultati possibili per un fenomeno descritto da quella distribuzione.

Conoscere il valore medio e la sigma della distribuzione di probabilità di un certo fenomeno, e la forma della distribuzione di probabilità, permette di stimare quali risultati ci si può attendere, quanto questi siano probabili quando si esegue un esperimento, e soprattutto di valutare quanto un certo risultato sia compatibile con l'ipotesi di un certo fenomeno. Per esempio, se conoscete la distribuzione di probabilità del risultato del lancio di due dadi, potrete scegliere in modo intelligente dove piazzare i vostri insediamenti quando giocate ai Coloni di Catan, in modo da massimizzare la probabilità di produrre risorse e vincere il gioco. Oppure, lanciando due dadi un certo numero di volte e confrontando la distribuzione dei risultati sperimentali con la distribuzione attesa, potete provare a stabilire se i dadi che state usando sono stati truccati.

Nel caso della ricerca del puzzone di Piggs, vista la necessità di distinguere la sua apparizione in mezzo al rumore di fondo generato dal fenomeno del bruglione di Yan, siete in una situazione simile. Se riuscite a farvi un'idea di quale sia la distribuzione di probabilità del manifestarsi dell'uno e dell'altro fenomeno, potete tentare di valutare quanto il risultato del vostro esperimento supporti l'ipotesi dell'esistenza del puzzone, o piuttosto il solo manifestarsi del già noto bruglione. Per rendere più concreto l'esempio, ci servirà sapere quali siano le caratteristiche delle distribuzioni di probabilità dei due fenomeni in questione (puzzone e bruglione), cosa che vedremo alla prossima puntata.

Compito a casa. Mentre aspettate la prossima puntata, provate a costruire la distribuzione di probabilità della somma della facce di tre dadi. Qual è il valore più probabile? E se invece ne lancio quattro?

(continua)

LHCb vede i primi indizi di nuova fisica a LHC?

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Questa settimana si tiene a Parigi l'Hadron Collider Physics Symposium, o HCP per gli amici. È una conferenza importante, che quest'anno ha luogo proprio immediatamente dopo la fine dalla presa dati protone-protone 2011 di LHC. Tutti quanti si aspettano dunque nuovi risultati dagli esperimenti di LHC, magari usando tutta la statistica possibile. In realtà, soprattutto su questo ultimo punto, le speranze saranno probabilmente disattese: per masticare 5 femtobarn inversi ci va tempo, e potete stare certi che non vedremo nessun aggiornamento saliente (per esempio, sulla ricerca dell'Higgs) basato su tutti questi dati prima del Council del CERN a inizio dicembre.

Anche con pochi dati è però possibile tirare fuori risultati intriganti, che è quello che ha fatto LHCb ieri con in annuncio quasi a sorpresa (dico "quasi" perché nei corridoi la voce circolava da un po', sopratutto quando la richiesta di modificare il programma per aggiungere una presentazione non prevista è diventata pubblica). Con questo risultato, LHCb si aggiudica la palma del primo esperimento di LHC ad aver visto un possibile indizio di fisica oltre il Modello Standard. Ma andiamo con ordine (e vi avverto da subito, ci saranno delle formulette!).

LHCb è un esperimento particolare: lavora con le stesse collisioni protone-protone prodotte da LHC che osservano ATLAS e CMS, ma con uno scopo più ristretto e preciso, ovvero studiare in particolare la produzione e il decadimento di particelle che contengano un quark b. Per fare questo LHCb ha una struttura particolare, di cui magari vi parlerò in un'altra occasione: vi basti sapere che il rivelatore è organizzato per misurare con precisioni la formazione di queste particelle, e soprattutto i loro decadimenti. Se LHCb è ottimizzato per misurare le proprietà di mesoni che contengono un quark b, può altrettanto bene misurare le proprietà di produzione e decadimento di mesoni che contengono un quark c, ed è proprio da uno di questi studi che arriva la notizia intrigante.

In che cosa consiste la misura? LHCb ha misurato i tassi di decadimento dei mesoni neutri D^0 in coppie di particelle K cariche o di pioni \pi carichi, ovvero questi processi:

D^0 \to K^+ K^- e \bar{D^0} \to K^+ K^-

D^0 \to \pi^+ \pi^- e \bar{D^0} \to \pi^+ \pi^-

Per capire meglio le formulette li sopra, dobbiamo giocare un po' al meccano (o al Lego, se preferite) con i quark. Prendete carta e penna, e iniziamo. Un mesone D^0 è formato da un quark c e un antiquark u (D^0 = c\bar{u}, dove la sbarretta sopra un simbolo rappresenta un'antiparticella), l'antiparticella del mesone D^0, il \bar{D^0}, da un antiquark c e un quark u (\bar{D^0} = \bar{c}u). Un mesone K^- è formato da un quark s e un antiquark u, un pione \pi^- da un quark d e un antiquark u. Che cosa avete imparato fino ad adesso? Che i mesoni sono particelle formate da un quark e un antiquark, e che, per sapere da cosa è formata l'antiparticella di un mesone, basta costruirla prendendo al posto del quark il suo antiquark, e viceversa. Ce la fate a scrivere da soli la composizione dei mesoni K^+ e \pi^+? Provate, io ve la scrivo qui sotto, insieme agli altri ingredienti:

D^0 = c\bar{u}   \bar{D^0} = \bar{c}u

K^- = s\bar{u}   K^+ = \bar{s}u

\pi^- = d\bar{u}   pi^+ = \bar{d}u

Come avrete notato, i mesoni K e i pioni \pi si assomigliano molto, semplicemente gli uni hanno al posto di un quark d un quark s.

Dobbiamo a questo punto parlare di una proprietà di simmetria delle interazioni fondamentali, che in gergo chiamiamo "simmetria CP", dove la C sta per Carica, la P per Parità. In sostanza, se una particella guarda se stesso nello specchio della simmetria CP, vede la sua antiparticella. Un processo che rispetti la simmetria CP è dunque un processo che avviene nello stesso modo e nelle stesse quantità tanto per una particella che per la sua antiparticella. Nel caso dei mesoni D^0, per esempio, una perfetta simmetria CP implicherebbe che il decadimento D^0 \to K^+ K^- e quello \bar{D^0} \to K^+ K^- avvengano esattamente con lo stesso ritmo. Ovviamente, nella realtà le cose sono sempre più complicate, perché secondo quello che ci dice il Modello Standard i mesoni D^0 e \bar{D^0} sono un po' promiscui e tendono a mescolarsi tra di loro, con la conseguenza di violare comunque un pochettino la simmetria CP. Se misuriamo questa quantità:

A_{\rm CP}(f^+ f^-) = \frac{\Gamma(D^0 \to f^+ f^-) - \Gamma(\bar{D^0} \to f^+ f^-) }{\Gamma(D^0 \to f^+ f^-) + \Gamma(\bar{D^0} \to f^+ f^-) }

dove il simbolo \Gamma misura quanto spesso avviene quel particolare decadimento, e f può essere tanto un K che un \pi, nel caso di una perfetta simmetria CP A_{\rm CP}(f^+ f^-) sarebbe esattamente uguale a 0, mentre il Modello Standard predice qualcosa che oscilla tra 0.01% e o.1% a seconda del teorico a cui chiedete, ma comunque resta un numerello piuttosto piccolo.

I valori di A_{\rm CP}(K^+ K^-) e  A_{\rm CP}(\pi^+ \pi^-) sono già stati misurati da altri esperimenti, e trovati sempre compatibili con zero all'interno delle precisioni sperimentali. Quello che invece LHCb ha fatto è stato misurare la differenza tra queste quantità per i due tipi di mesoni nello stato finale:

\Delta A_{\rm CP}=A_{\rm CP}(K^+ K^-) - A_{\rm CP}(\pi^+ \pi^-)

Questa scelta permette di eliminare dalla misura le differenze sperimentali legate ai diversi ritmi di produzione di mesoni D^0 e \bar{D^0} nelle collisioni protone-protone a LHC, e - che fortuna! - anche una buona parte degli effetti legati alla piccola rottura della simmetria CP predetta dal Modello Standard. In sostanza, se nel Modello Standard già A_{\rm CP}(K^+ K^-) e A_{\rm CP}(\pi^+ \pi^-) dovrebbero essere piccoli e prossimi allo zero, \Delta A_{\rm CP} dovrebbe esserlo ancora di più. Ed invece LHCb ha misurato un valore di -0.82%, con un errore statistico e sistematico di 0.21% e 0.11% rispettivamente, ovvero qualcosa di significativamente diverso da zero!

Nel grafico qui sopra vedete la banda azzurra che corrisponde alla misura di LHCb con l'incertezza che le corrisponde, confrontata con le misure precedenti della stessa quantità (le altre bande colorate) e con la loro media (indicata a vari livelli di precisione dagli ellissi neri). La misura di LHCb non è incompatibile con la media delle misure precedenti, che già mostravano una certa tensione rispetto al valore nullo aspettato, ma rinforza l'evidenza di qualche altro processo oltre quelli previsti dal Modello Standard a generare questa asimmetria.

Quanto è credibile questo risultato? Da un punto di vista statistico si tratta di un'evidenza solida, ma niente che non potrebbe ridimensionarsi con più dati. LHCb ha analizzato soltanto 580 picobarn inversi, ne ha circa altri 500 a disposizione per raddoppiare la statistica. Nei prossimi mesi sapremo se l'effetto sarà è confermato o meno, e ovviamente con i dati del 2012 si potrà eventualmente aumentare la certezza che si tratti si un fenomeno genuino.

E se fosse vero, di che cosa si potrebbe trattare? Su questo i nostri colleghi teorici stanno in queste ore grattandosi per bene la testa, perché non ci sono molti modelli di fisica oltre il Modello Standard sul mercato che prevedessero un fenomeno simile. In generale, si tratterebbe di ipotizzare la presenza di nuove particelle pesanti che contribuirebbero ai decadimenti in modo asimmetrico. Non è impossibile farlo, e i teorici sono sempre ricchi di risorse. Sento già lo scricchiolare dei gessetti sulle lavagne!

Se il fenomeno fosse confermato, sarebbe la prima evidenza di fisica oltre il Modello Standard evidenziata da LHC, ed è in qualche modo ironico che questa venga da LHCb e non da ATLAS o CMS. Ma, se esperimenti come LHCb possono vedere tracce di nuova fisica in discrepanze rispetto alle predizioni del Modello Standard nelle proprietà di certi processi, l'onere e l'onore della rivelazione diretta dei responsabili di queste discrepanze (per esempio, queste nuove particelle pesanti a cui accennavo prima) resta agli esperimenti come ATLAS e CMS. Staremo a vedere.