dadi

Mi sono messo in testa di insegnarvi un po' di statistica. O meglio, di fare finta di insegnarvi un po' di statistica: in realtà farò solo degli esempietti approssimati, senza darvi nessuna dimostrazione, e senza pretesa di rigore matematico alcuno. L'idea sarebbe quella di tentare di spiegarvi come si isola un segnale da un rumore di fondo, quando lo si può fare, e perché avere pochi dati può non permette di esprimersi in modo certo rispetto alla presenza di un nuovo fenomeno, mentre invece aumentarne la quantità migliora questa capacità fino a un livello che può essere considerato sufficientemente attendibile. Siete pronti? Mi ci vorranno almeno un paio di articoli, se non di più. E, se mi impegno, magari ce la facciamo entro il 13 dicembre.

Useremo uno scenario di fisica delle particelle estremamente semplificato. Stiamo facendo un esperimento per la ricerca del puzzone di Piggs: questa fantomatica particella, nel caso in effetti esista in natura, si manifesterebbe nel nostro sofisticato rivelatore con l'accensione di una lucina rossa. Il nostro collega teorico ci ha informati che la produzione del puzzone di Piggs è un evento molto raro: se le previsioni sono corrette si manifesterà in media una volta ogni 10000 interazioni. Segnatevi sui vostri quadernetti che questo ritmo di produzione e apparizione nel rivelatore è un valore medio, soggetto a fluttuazioni statistiche: torneremo su questo punto tra un momento.

Il principale problema del nostro esperimento è quello del rumore di fondo. La natura, notoriamente burlona, ha previsto l'esistenza di un altro processo, che per l'occasione chiameremo bruglione di Yan, che si manifesta nel nostro rivelatore anch'esso con l'accensione della stessa lucina rossa, in modo assolutamente indistinguibile dalla (possibile) manifestazione del puzzone di Piggs. Il fenomeno del bruglione di Yan è stato scoperto parecchi anni fa e da allora misurato in lungo e in largo, e rappresenta uno dei tanti aspetti della natura di cui conosciamo tutti i dettagli. Sappiamo per esempio che è un fenomeno raro, ma più frequente dell'apparizione presunta del puzzone: in 10000 interazioni si manifesta infatti in media 10 volte.

Facciamo ora una digressione sulla questione dei valori medi e delle fluttuazioni statistiche. Immaginate di lanciare due dadi a 6 facce, di quelli normali e comuni (per i giocatori di D&D prima o poi faremo un serie dedicata) e di sommare le cifre sulle facce superiori. Il valore più probabile che potete ottenere è 7, perché si tratta della cifra che potete ottenere con il maggior numero di combinazioni (nello specifico: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1). Ottenere 6 o 8 è ancora abbastanza probabile, ma meno che ottenere 7 (vi lascio calcolare da soli le combinazioni possibili), mentre ottenere 2 o 12 è molto meno probabile (potete ottenerli rispettivamente solo facendo 1+1 o 6+6). Prendete un pezzo di carta, e provate a disegnare un grafico, mettendo sull'asse orizzontale il valore che ottenete lanciando due dadi, e sull'asse verticale il numero di combinazioni che permettono di realizzare quel particolare valore. Otterrete qualcosa del genere:

Adesso fate un passaggio ulteriore, e trasformate i valori sull'asse verticale in percentuali. Per farlo, dovete contare tutte le combinazioni possibili (sono 36), e poi dividere ognuno dei valori che avevate sul grafico precedente per questo valore. Ecco qui:

Complimenti! Avete disegnato la vostra prima distribuzione di probabilità, una funzione che vi indica quanto è probabile che un certo fenomeno (il lancio di due dadi, per esempio) produca un certo risultato (un certo valore della somma delle facce superiori). A seconda del fenomeno che state studiando (il lancio di due dadi, la produzione del puzzone di Piggs), questa distribuzione avrà forme e caratteristiche diverse che si possono studiare matematicamente. Quando studiate una distribuzione di probabilità, ci sono alcune informazioni (matematiche) che vi aiutano a capirne le proprietà. La principale è il suo valore medio, che, perlomeno nel caso di distribuzioni simmetriche, vi dice qual è il risultato più probabile che potete ottenere se osservate un certo fenomeno. Immediatamente dopo viene un numerello che si chiama deviazione standard o anche scarto quadratico medio, che vi da una misura di quanto i possibili risultati del vostro esperimento possono assumere dei valori diversi e lontani dal valore medio. Nel caso del lancio di due dadi, il valore medio della distribuzione di probabilità dei valori attesi è 7, mentre la deviazione standard è circa 2.4 (come si calcola non ve lo spiego, se siete curiosi è un'informazione facile da trovare):

La media viene solitamente indicata con il simbolo "mu" ($\mu$), e la deviazione standard con "sigma" ($\sigma$). Quello che la media e la sigma di questa distribuzione vi dicono è per esempio che, quando lanciate due dadi, in poco meno di 67% dei casi il risultato che otterrete sarà compleso tra 7-2.4 e 7+2.4, ovvero tra il valore medio della distribuzione più o meno una sigma (e vi prego di sorvolare sul fatto che il valore della deviazione standard di una distribuzione che può assumere solo valori interi possa essere un numero reale, di quelli con la virgola, altrimenti non ne usciamo!). L'intervallo tra la media e più o meno due sigma, conterrà in questo caso più del 95% delle combinazioni possibili. Questi valori dipendono ovviamente dalla forma della distribuzione di probabilità, ma vi danno un'idea di dove voglio andare a parare: l'intervallo compreso tra la media più o meno un certo numero di sigma comprende una frazione di risultati possibili che è sempre più grande (e tende al 100%) tanto più grande è il numero di sigma che prendete in conto. Per esempio (ma ci torniamo meglio alla prossima puntata), se considerate la distribuzione di probabilità più frequente in natura, la distribuzione a campana detta "normale" o di Gauss, un intervallo compreso tra la media più o meno 3 sigma comprende più del 99% dei risultati possibili per un fenomeno descritto da quella distribuzione.

Conoscere il valore medio e la sigma della distribuzione di probabilità di un certo fenomeno, e la forma della distribuzione di probabilità, permette di stimare quali risultati ci si può attendere, quanto questi siano probabili quando si esegue un esperimento, e soprattutto di valutare quanto un certo risultato sia compatibile con l'ipotesi di un certo fenomeno. Per esempio, se conoscete la distribuzione di probabilità del risultato del lancio di due dadi, potrete scegliere in modo intelligente dove piazzare i vostri insediamenti quando giocate ai Coloni di Catan, in modo da massimizzare la probabilità di produrre risorse e vincere il gioco. Oppure, lanciando due dadi un certo numero di volte e confrontando la distribuzione dei risultati sperimentali con la distribuzione attesa, potete provare a stabilire se i dadi che state usando sono stati truccati.

Nel caso della ricerca del puzzone di Piggs, vista la necessità di distinguere la sua apparizione in mezzo al rumore di fondo generato dal fenomeno del bruglione di Yan, siete in una situazione simile. Se riuscite a farvi un'idea di quale sia la distribuzione di probabilità del manifestarsi dell'uno e dell'altro fenomeno, potete tentare di valutare quanto il risultato del vostro esperimento supporti l'ipotesi dell'esistenza del puzzone, o piuttosto il solo manifestarsi del già noto bruglione. Per rendere più concreto l'esempio, ci servirà sapere quali siano le caratteristiche delle distribuzioni di probabilità dei due fenomeni in questione (puzzone e bruglione), cosa che vedremo alla prossima puntata.

Compito a casa. Mentre aspettate la prossima puntata, provate a costruire la distribuzione di probabilità della somma della facce di tre dadi. Qual è il valore più probabile? E se invece ne lancio quattro?

(continua)