Sono passati quasi 5 anni dall'ultimo articolo di questa serie (come passa il tempo quando ci si diverte, tra una pandemia mondiale e responsabilità di lavoro non proprio trascurabili!), ma la Lagrangiana del Modello Standard non è cambiata, e i suoi punti forti e i suoi lati deboli sono sempre lì. Riprendiamo dunque la discussione: dopo aver già discusso le prime due righe e una parte della quarta riga, passiamo ora alla terza riga. Se non vi ricordate bene, potete riprendere la lettura dall'inizio e seguendo i link alla fine di ogni articolo.
Nel nostro viaggio alla scoperta della Lagrangiana del Modello standard, siamo partiti dicendo che questa sarebbe l'equazione che "riassume elegantemente la nostra conoscenza del mondo delle particelle elementari e delle loro interazioni fondamentali". Ci siamo allora chiesti che cosa possa voler dire la parola conoscenza in questo contesto. Analizzando il ruolo dei primi termini dell'equazione, abbiamo inizialmente concluso che per le prime due righe, quelle che descrivono le interazioni fondamentali,
(...) possiamo dunque parlare di "conoscenza" nel suo senso più completo. Si tratta del condensato di quella fisica che per certi versi inizia con la stesse equazioni di Maxwell nel 1880, e la cui struttura e proprietà abbiamo testato e misurato con altissima precisione nel corso di tutto il novecento.
Per la prima parte della quarta riga, quella che descrive il meccanismo di Higgs che dà massa dei bosoni vettori, eravamo giunti a una conclusione simile:
(...) Il primo componente della quarta riga della lagrangiana del Modello Standard, dunque, può essere anch'esso ormai classificato sotto la categoria della "conoscenza". (...) È una conoscenza ancora meno precisa di quella descritta dalle prime due righe, ma è solida e affidabile. In termini di struttura matematica, invece, siamo al confine tra il vecchio e il nuovo: da una parte si tratta di un'interazione simile a quella descritta dalla seconda riga, la cui azione però questa volta però è rivolta a un campo le cui proprietà sono peculiari, e mai osservate prima in natura.
Vi propongo adesso di rivolgere la nostra attenzione alla terza riga, lasciano per il momento da parte quella sigla "+h.c.", di cui magari parleremo più avanti:
Se andate a ripassare le puntate precedenti, nella seconda ritroverete il significato del simbolo \(\psi\):
La lettera \(\psi\) rappresenta il campo associato a una particella di materia, per esempio un elettrone o un quark.
mentre nella quarta quello del simbolo \(\phi\):
Il campo in questione, che chiamiamo "campo di Higgs", è rappresentato nella lagrangiana dal simbolo \(\phi\).
La terza riga della lagrangiana rappresenta dunque l'interazione tra il campo di Higgs e le particelle di materia, un'interazione che ha una forma che tecnicamente chiamiamo "di Yukawa", dal nome del fisico giapponese che per primo ne sviluppato la struttura. Stiamo dunque guardando quella parte della lagrangiana dove al campo di Higgs, inizialmente introdotto per spiegare la massa dei bosoni W e Z e giustificare la differenza di comportamento tra interazione elettromagnetica e nucleare debole, viene anche affidato il compito di generare la massa delle particelle di materia.
Se per l'interazione tra il campo di Higgs e i bosoni messaggeri dell'interazione elettrodebole solo le proprietà di questi ultimi e del campo di Higgs figurano nell'espressione, per l'interazione tra il campo di Higgs e i fermioni appare un termine aggiuntivo, quel simboletto \(y_{ij}\). Di cosa si tratta? Iniziamo con il dire che non è un unico numero, ma ne riassume una serie: quegli indici \(i\) e \(j\) si riferiscono al tipo di particella a cui l'interazione fa riferimento. Esiste dunque un valore di \(y\) per ogni fermione, per esempio uno per l'elettrone, o il muone, o il quark bottom, eccetera: \(y_e\), \(y_\mu\), \(y_b\), ... Dentro a ogni simbolo $y$ si nasconde poi il valore della massa \(m_i\) della particella in questione, un valore che inseriamo a mano nella lagrangiana:
\(y_i = \sqrt{2}\frac{m_i}{\nu}\)
(vi invito caldamente a sorvolare sul fattore \(\sqrt{2}\), mentre di che cosa sia il parametro \(\nu\) parleremo quando discuteremo dell'ultimo termine della lagrangiana, quello al fondo della quarta riga).
Non c'è dunque un meccanismo "dinamico" che genera i valori specifici della massa dei fermioni a partire dalle altre proprietà della teoria, come succede invece per i bosoni vettori. L'interazione di Yukawa tra fermioni e campo di Higgs risolve con la sua struttura i problemi teorici legati alla generazione della massa di queste particelle, ma non spiega i valori stessi di questa massa, valori che dobbiamo misurare sperimentalmente e inserire come parametri esterni nella teoria. E, come abbiamo imparato altrove, ogni parametro che inseriamo a mano in una teoria è la testimonianza della nostra ignoranza, e dell'incompletezza stessa della teoria.
La terza riga della lagrangiana del Modello Standard è dunque allo stesso tempo peculiare e essenziale. Peculiare, perché prima della scoperta del bosone di Higgs nel 2012 la possibile esistenza di un termine con quella struttura restava una congettura, e la sua verifica sperimentale ha richiesto parecchi anni. La prima vaga evidenza sperimentale dell'interazione tra il campo di Higgs e un fermione è arrivata nel 2015, e quelle più dirette, con l'evidenza dell'interazione del bosone di Higgs con i quark top e bottom, ha dovuto attendere il 2018.
Peculiare, poi, perché la struttura di quel termine resta anomala rispetto a quanto eravamo abituati a osservare in natura. Se per le prime due righe della Lagrangiana dicevamo di poter parlare di "conoscenza" nel suo senso più completo, questo non è decisamente vero per la terza riga. La forma dell'interazione tra il campo di Higgs e i fermioni è qualcosa che non abbiamo mai osservato prima, e che ci lascia dunque con una serie di domande aperte: perché proprio quella forma? Esiste una teoria più completa del Modello Standard che possa spiegare i differenti valori delle masse dei fermioni, che per ora inseriamo a mano nell'equazione? Il meccanismo di Higgs è veramente responsabile della massa di tutti i fermioni? Anche dei neutrini, con la loro massa così piccola (ma non nulla!) e il loro caratteristiche particolari? Se per le altre righe della lagrangiana ci siamo permessi di dire che rappresentavano una vera conoscenza del mondo, per questa dobbiamo ammettere che siamo ancora nella regno delle ipotesi.
Allo stesso tempo, la terza riga della lagrangiana è essenziale, perché i valori delle masse dei fermioni nascosti dietro a quei parametri \(y_{ij}\) regolano in maniera profondissima le caratteristiche dell'universo in cui ci siamo ritrovati a vivere. Vi faccio un paio di esempi. Prendiamo due particelle che tutti conoscono, il protone e il neutrone, i componenti dei nuclei atomici. Protone e neutrone non sono particelle elementari, sono a loro volta comporte da quark: due quark up e un quark down il protone, un quark up e due quark down il neutrone.
La massa di protone e neutrone è in buona parte dovuta all'interazione tra questi quark, e non tanto alla massa stessa dei quei quark, che di per sé è piuttosto piccola. La massa di un quark up è infatti circa 2.2 MeV, quella di un quark down circa 4.8 MeV, quella del protone 938.2 MeV, quella del neutrone 939.5 MeV. Se prendiamo il protone, la somma delle masse dei suoi quark costituenti corrisponde a poco più di 9 MeV, circa l'1% della massa totale, e lo stesso è vero per il neutrone. Se i quark non avessero massa (ovvero se i coefficienti \(y_u\) e \(y_d\) fossero nulli, e la terza riga della lagrangiana non ci fosse) protone e neutrone avrebbero esattamente la stessa massa, mentre è la piccola differenza che osserviamo - dovuta ai valori specifici di \(y_u\) e \(y_d\) - a far sì che il neutrone sia lievissimamente più pesante del protone. Ed è la piccola differenza di massa tra il protone e il neutrone a garantire che il protone sia stabile, e dunque che esista l'atomo di idrogeno, alla base dell'esistenza di tutti gli altri atomi di cui è formata la materia che ci circonda!
Analogamente, il valore specifico della massa dell'elettrone \(m_e\), un'altra particella che tutti conoscono, è nascosto dentro il valore specifico del coefficiente \(y_e\). E la massa dell'elettrone determina quello che chiamiamo il raggio di Bohr (sul significato degli altri simboli della formula qui sotto vi lascio andare a rileggere qui):
\(a_0= \frac{\hbar}{m_e c \alpha}\)
che a sua volta definisce le dimensioni degli atomi, a loro volta alla base di tutta la chimica che governa il funzionamento del mondo in cui ci troviamo a vivere!
Ecco dunque che la terza riga della lagrangiana del Modello Standard assume un valore veramente particolare. Ci dice allo stesso tempo quanto sia essenziale per il funzionamento dell'universo l'interazione tra il campo di Higgs e la materia, e quanto poco abbiamo capito di questa interazione. Celebra l'avanzamento della nostra comprensione, e ci ricorda l'estensione ancora notevole della nostra ignoranza.
[…] (continua) […]