Protoni quasi veloci come la luce

Facciamo una piccola pausa nel percorso di scoperta di come funziona LHC, o meglio, un digressione. Perché lo so che vi piacciono le foto dei macchinari e gli schemini colorati che metto insieme per tentare di farmi capire, ma so anche che ci sono dei loschi figuri la fuori che di tanto in tanto vorrebbero anche vedere delle formule e dei numeri. E allora, siccome da un po' l'angolo delle Formulette langue, diamo loro un po' di soddisfazione.

Nella puntata precedente vi ho raccontato di come sia fatto il complesso degli acceleratori del CERN, e di come i protoni, una volta estratti dalla bottiglietta dell'idrogeno e spogliati del fido elettrone, vengano accelerati sempre più nei passaggi nelle diverse macchine. In quell'articolo vi ho dato l'evoluzione delle energie all'uscita di ogni diverso acceleratore, misurate in elettronvolt. Ma a quale velocità viaggiano i protoni a ogni passaggio?

Per fare i conti ci serve qualche formula di cinematica relativistica semplice semplice. Iniziamo con il dire che le energie che ho citato (e che vi ripeto tra un attimo) sono energie cinetiche, che per convenzione chiameremo $k$. Come già sapete, l'energia totale $E$ di una particelle comprende sia la componente legata al moto (l'energia cinetica appunto), che quella immagazzinata nella sua massa $m$:

$$E = m + k$$

Come sempre, da bravi fisici pigri, assumiamo che la velocità della luce sia la nostra unità di misura fondamentale, e dunque che $c=1$ e massa e energia si misurino nelle stesse unità. Adesso (e qui dovete fidarvi. Prima o poi ne chiacchiereremo insieme a Oliver) sappiate che:

$$E = \gamma m$$

dove $\gamma$ si chiama in gergo fattore di Lorentz, che si esprime anche come:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

$\beta = \frac{v}{c}$ è la frazione della velocità della luce $c$ a cui viaggia dunque una particella di massa $m$ con energia $E$.

Con l'aiuto delle tre formulette lì sopra, e sapendo che la massa del protone vale $m$ = 0.938 GeV, riuscite a calcolare a quale frazione della velocità della luce si muovono i protoni all'uscita di ciascun tratto del loro viaggio verso LHC?

Prerequisiti per riuscire nell'impresa: un po' di algebra da scuola media, e una calcolatrice (a meno che vi ricordiate come estrarre le radici quadrate a mano). La risposta su questi stessi schermi tra qualche giorno. Eccovi di nuovo il sommario delle energie cinetiche massime in ogni acceleratore del complesso del CERN, buoni calcoli!

Aggiornamento: la soluzione per i pigri è qui.