Quello che sappiamo del bosone di Higgs: coniugati hermitiani nella lagrangiana

Quando ho scritto l'ultimo pezzo della serie "Quello che sappiamo del bosone di Higgs", pensavo di proseguire passando direttamente all'ultimo termine della Lagrangiana del Modello Standard, saltando bellamente quel piccolo termine "+h.c." che avevo scritto per completezza nella prima versione della formula. Perché saltarlo? Perché si tratta di un contributo la cui necessità è molto tecnica, e la cui reale comprensione richiede una preparazione matematica importante (e questo è un blog con ambizioni divulgative, non il sito di un corso universitario!). Mi dicevo allora che una possibile spiegazione, nell'ipotesi che fossi capace di partorirne una, non avrebbe aggiunto granché alla comprensione dei miei lettori. Illuso.

Ovviamente le cose sono andate diversamente. Una volta condiviso su un social network quell'ultimo articolo, mi sono ritrovato questo simpatico commento di un collega:

La sfida era evidente, e ho allora deciso di provare a raccoglierla. Ma, che sia chiaro, non mi addentrerò (quasi) per niente nei dettagli matematici, e quando lo farò mi arrampicherò sugli specchi in modo vergognoso e privo di ogni rigore.

Togliamo dunque prima dai piedi i dettagli matematici, quei pochi su cui mi sento di indugiare qui. La sigla "h.c." sta per "hermitiano coniugato", in inglese "hermitian conjugate" (in italiano si parlerebbe piuttosto di hermitiano aggiunto). L'aggettivo hermitiano viene dal nome del matematico Charles Hermite, mentre il termine "coniugato" o "aggiunto" fa riferimento all'idea che, a fianco dell'espressione che precede il termine "+h.c.", se ne possa (e, nel caso specifico, se ne debba) aggiungere un'altra simile e, in qualche modo, speculare.

L'analogia più semplice (e già semplice non è) che posso usare per provare a spiegare è il concetto di complesso coniugato per un numero complesso. Se non avete idea di cosa sia un numero complesso, saltate a piè pari il paragrafo che segue, e ci rivediamo tra qualche decina di righe, subito dopo l'immagine gialla. Jump!

Ancora qui? D'accordo, proviamo a proseguire con un po' matematica senza rigore alcuno e appiccicata col nastro adesivo. Un numero complesso è un'entità matematica definita come la combinazione di un numero reale e un numero immaginario, dove i numeri immaginari possono essere pensati come le soluzioni alle radici quadrate di numeri negativi. Se \(i = \sqrt{-1}\), allora un numero immaginario avrà la forma \(iy\), dove \(y\) è un numero reale, e un numero complesso potrà scriversi come:

\(z = x + iy\)

dove \(x\) è la sua componente reale, e \(iy\) quella immaginaria. Nell'ipotesi che siate ancora con me, possiamo allora definire il complesso coniugato di \(z\) come:

\(z^{*} = x - iy\)

ovvero un numero complesso con la stessa componente reale e l'opposto della componente immaginaria di \(z\). Non intendo spiegarvi qui le proprietà del complesso coniugato, se non farvi notare che, se moltiplicate un numero complesso per il suo complesso coniugato, le componenti immaginarie dei due si annullano e ottenete un numero reale che corrisponde al quadrato del modulo del numero di partenza:

\(z z^{*} = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 = |z|^2\)

C'è dunque da una relazione quasi di "fratellanza" tra un numero complesso e il suo complesso coniugato, che si manifesta con il fatto che, quando questi "interagiscono", le loro componenti immaginarie si annullano a vicenda. ^[1]Questo è il primo volo pindarico, ma so che posso fare di peggio. Proseguendo senza nessunissima pretesa di rigore matematico, possiamo dire che il coniugato hermitiano generalizza l'idea del complesso coniugato al caso in cui non ci occupiamo più di semplici numeri complessi, ma di vettori e funzioni come quegli elementi \(\psi\) che appaiono nella lagrangiana del Modello Standard. Sempre sperando che gli dei della matematica non mi fulminino, concludo questa escursione pseudo-matematica dicendo che il coniugato hermitiano è una forma "specchiata" dell'elemento vettoriale o funzionale che stiamo considerando, che ha certe proprietà complementari all'oggetto di partenza, e che, se presente in un'espressione, ne "regolarizza" il comportamento, un po' come a "bilanciare" certe caratteristiche dell'oggetto di partenza dentro l'espressione in cui appare. ^[2]Non potete nemmeno immaginare quanto mi senta sporco ad aver scritto quest'ultima frase. Chiedo perdono al mio professore di Metodi Matematici per la Fisica. Professor Sciuto, non volevo, lo giuro, mi hanno obbligato. ^[3]Perché ci sia bisogno di questo "bilanciamento" nella Lagrangiana del Modello Standard è veramente troppo complesso da spiegare qui, e dovrete credermi sulla parola.

La necessità matematica di aggiungere i termini coniugati hermitiani alla riga che descrive l'interazione delle particelle di materia con il campo di Higgs, generandone così le masse, è in primo luogo una necessità tecnica. Le necessità tecniche della matematica che usiamo per descrivere il mondo in cui ci ritroviamo a vivere nascondono però delle verità importanti sulla sua struttura. Nel caso del nostro termine "+h.c.", quello sta lì a ricordarci che, se abbiamo scritto i termini dell'interazione tra particelle di materia e campo di Higgs, non dobbiamo dimenticare di scrivere anche i termini per le antiparticelle, le quali hanno anch'esse una massa e sono rappresentate da termini \(\bar{\psi}\) che nella terza riga non abbiamo scritto per brevità. In sostanza, possiamo dunque riassumere la presenza del termine "+h.c." nella Lagrangiana del Modello Standard come "e la stessa roba anche per le antiparticelle (dei fermioni)". C'è una simmetria sostanziale tra particelle e antiparticelle in quella parte dell'interazione, e quel termine è lì per ricordarcela.

È interessante notare come in altre versioni della Lagrangiana del Modello Standard simili a quella che ho scritto di mio pugno, per esempio quella sulla maglietta che potete comprare al negoziato di souvenir del CERN, il termine "+h.c." appaia anche alla fine della seconda riga. Il fatto di non averlo scritto non è un errore da parte mia, quanto piuttosto una leggerezza da parte di chi ha preparato la maglietta del CERN. Si può infatti dimostrare che il termine che appare nella seconda riga, che abbiamo imparato a descrivere come rappresentativo delle interazioni tra le forze fondamentali e le particelle di materia, è tecnicamente un termine "auto-aggiunto", ovvero il cui coniugato hermitiano è uguale a sé stesso. Questo non è tanto perché le componenti di quel termine abbiano delle proprietà peculiari, ma perché (e se guardate bene lo noterete voi stessi) nel termine appaiono già sia le particelle (\(\psi\)) che le antiparticelle (\(\bar{\psi}\)) di materia, e non c'è dunque bisogno di specificarne esplicitamente  l'aggiunta.

P.S. dopo aver vissuto tanti anni in Francia, non posso che confessarvi che ogni volta che sento il termine "hermitiano coniugato" penso a un paguro bernardo da poco convolato a nozze, perché il paguro Bernardo in francese si chiama "Bernard l'hermite", e sebbene Charles Hermite non fosse certo un eremita ^[4]Né un paguro, non riesco a levarmi la connessione dalla testa ^[5]Ma poi come fa un eremita a sposarsi? Non è una contraddizione in termini? ... 😉

(continua)